Chứng minh Định lý Cauchy của James McKay


Hôm nay tôi sẽ giới thiệu với các bạn một chứng minh của Định lý sau

Định lý Cauchy. Cho G là một nhóm hữu hạn và p là một ước nguyên tố của |G|. Khi đó G có ít nhất một phần tử cấp p.

Chứng minh.

Xét tập \mathcal{S}=\{(x_1,x_2,\cdots, x_p)\in G^p|x_1x_2\cdots x_p=1\}. Bởi vì x_p xác định duy nhất khi ta đã biết x_1,\cdots, x_{p-1} nên số phần tử của \mathcal{S} bằng |G|^{p-1}. Trong \mathcal{S} xét quan hệ sau: x\,\,\,R\,\,\,y nếu x thu được từ y bởi phép hoán vị vòng. Dễ thấy đây là một quan hệ tương đương, và một lớp theo quan hệ này có một phần tử khi và chỉ khi nó chứa (x,\cdots, x) với x^p=1. Cũng thấy luôn rằng vì p là số nguyên tố nên một lớp tương đương chỉ có thể có 1 hoặc p phần tử. Gọi k là số lớp có 1 phần tử còn q là số lớp có p phần tử, thế thì ta sẽ có |G|^{p-1}=k+pq, từ đây ta có p|k, nói riêng k>1. Như vậy ngoài lớp chứa (1,1,…,1) còn có những  lớp khác cũng gồm một phần tử, giả sử một trong các lớp này chứa (x,x,…,x) thì x là phần tử có bậc p. Định lý được chứng minh.

—-

Theo AMM

7 thoughts on “Chứng minh Định lý Cauchy của James McKay”

  1. chào bạn, mình là Huy học ở Mỹ, mình cũng mong ước sẽ vào Cao Học trong năm tới, bài này mình đã học nhưng có điều mình học = tiếng Anh nên đọc proof của bạn hơi khó hiểu 1 chút tuy nhiên proof này hơi ngắn đó. mình học Cauchy Theorem thì proof mình dùng là induction (hình như tiếng Việt gọi là quy nạp??). và phải dùng khá nhiều machinery (kết quả từ các định lý khác).

    Cauchy Theorem: Let G be a finite group and assume p | |G|, then G contains a cyclic subgroup of order p (an element of order p)

    có thể bạn dùng những kiến thức cao hơn mình chưa đc học để chứng minh Cauchy vì với kiến thức mình học lúc chứng minh Cauchy thì hơi bị dài.. ..hic!

    thân chào và hân hạnh làm quen.

  2. hôm nay mình mới học về Sylow Theorem. Cauchy’s Theorem đc prove dùng Sylow rất là ngắn 🙂 .. ..thiệt tình, ông thày mình hồi xưa khoái chi mà đi prove Cauchy khi chưa có đủ machinery. …hehehe.. ..

    becu!

  3. Chứng minh đầu rất dễ hiểu, chắc do ngôn ngữ của bạn thôi. Chứng minh bạn biết bây giờ thế nào? Rất vui khi quen bạn.

  4. lúc này mình hơi bận nên ko trả lời đc nhưng đại khái là Cauchy là một corollary của Sylow thôi. Đại khái là by Sylow, there exists a subgroup A < G s.t |A| = p^e. Then pick an element x in A, the cyclic group generated by x, < A < G and O() = p^k where 1<= k <= e. then by properties of cyclic group. p | p^k then contains an element y of order p. so we have a chain: < < A < G. proof is done!

    ngắn cụt .. ..hehe .. ..chẳng buồn với cái proof kia…dài cả 2 trang quái quỷ. vậy mà đi thi ra ông thày bắt proof 1/2 cái đó, mình tiêu.. ..ko nhớ đc ;d

    becu.

  5. *xin lỗi vì mình viết tiếng Anh ko nha, vậy cho lẹ vì mình ko có học = tiếng Việt (mình ước đc học = tiếng Việt = tiếng mẹ đẻ) nhưng mà ở VN học ngu quá.. ..nên nếu có apply chắc ko đc vào. ở VN mà vào đc cao học là phải giỏi lắm. 🙂

  6. cái web nó ko cho hiển thị ký hiệu tắt của cyclic group. nên bài viết trên của mình bị hư hết rồi. mình ko biết sài LaTex ;d .. ..lười học cách sài quá ^^;

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s