Chứng minh Định lý Cauchy của James McKay


Hôm nay tôi sẽ giới thiệu với các bạn một chứng minh của Định lý sau

Định lý Cauchy. Cho G là một nhóm hữu hạn và p là một ước nguyên tố của |G|. Khi đó G có ít nhất một phần tử cấp p.

Chứng minh.

Xét tập \mathcal{S}=\{(x_1,x_2,\cdots, x_p)\in G^p|x_1x_2\cdots x_p=1\}. Bởi vì x_p xác định duy nhất khi ta đã biết x_1,\cdots, x_{p-1} nên số phần tử của \mathcal{S} bằng |G|^{p-1}. Trong \mathcal{S} xét quan hệ sau: x\,\,\,R\,\,\,y nếu x thu được từ y bởi phép hoán vị vòng. Dễ thấy đây là một quan hệ tương đương, và một lớp theo quan hệ này có một phần tử khi và chỉ khi nó chứa (x,\cdots, x) với x^p=1. Cũng thấy luôn rằng vì p là số nguyên tố nên một lớp tương đương chỉ có thể có 1 hoặc p phần tử. Gọi k là số lớp có 1 phần tử còn q là số lớp có p phần tử, thế thì ta sẽ có |G|^{p-1}=k+pq, từ đây ta có p|k, nói riêng k>1. Như vậy ngoài lớp chứa (1,1,…,1) còn có những  lớp khác cũng gồm một phần tử, giả sử một trong các lớp này chứa (x,x,…,x) thì x là phần tử có bậc p. Định lý được chứng minh.

—-

Theo AMM