Bài tập Đại số hiện đại ngày 23-10-2008(thày Phùng Hồ Hải)


Bài 1. Cho A là một nhóm Abelian và p là một ước nguyên tố của |A|. Chứng minh rằng A có ít nhất một nhóm con cấp p.

Bài 2. A là nhóm hữu hạn sinh và f:A\to A là toàn cấu. Chứng minh rằng f là đẳng cấu.

Bài 3. Hai nhóm tự do có hạng hữu hạn đẳng cấu khi và chỉ khi hạng của chúng bằng nhau.

7 thoughts on “Bài tập Đại số hiện đại ngày 23-10-2008(thày Phùng Hồ Hải)”

  1. Bài 1. Viết |A|=pm, với m là số nguyên dương. Ta tiến hành quy nạp theo m. Với m=1 ta chọn nhóm đó là A. Gỉa sử khẳng định đúng với tất cả số bé hơn m, ta chứng minh nó đúng với m. Lấy một phần tử x của A sao cho H= là nhóm con khác 1, nếu p là ước của |H| thì ta chọn nhóm sinh bởi x^{|H|/p}. Bây giờ giả sử p không là ước của |H|, nhóm H là chuẩn tắc và nhóm thương A/H là Abelian có bậc mp/|H|=p(m/|H|)<pm (bởi vì H khác 1). Áp dụng giả thiết quy nạp ở đây, trong A/H có phần tử u bậc p, nếu gọi v là tiền ảnh của nó trong A, thì bậc của v bằng một bội của p, giờ thì chọn nhóm như lúc đầu.

    Bài 2. Mệnh đề này là một mệnh đề sai. Có những nhóm hữu hạn sinh nhưng không phải là nhóm Hopfian (là nhóm mà mỗi tự đồng cấu là toàn cấu kéo theo là đẳng cấu) . Ví dụ nhóm Baumslag-Solitar BS(2,3) sinh bởi hai phần tử nhưng không Hopfian.

  2. Bài 3. Đây là một tính chất quen biết của nhóm tự do. Một chứng minh có thể tìm thấy trong các giáo trình Đại số, chẳng hạn: Rotman, trang 348.

  3. các bạn học ở VN nhưng biết rất khá ngôn ngữ toán học bằng tiếng Anh vì tài liệu chủ yếu = tiếng Anh. mình học = tiếng Anh nên lại ko biết những từ ngữ các bạn dùng nghĩa là gì😦 .. .mình mong mai mốt về VN để tham gia dạy học nhưng mà mình kém về ngôn từ tiếng Việt như vậy sao đây? chết ><

  4. bạn nói không hoàn toàn đúng.Dù sao bạn cũng giỏi hơn tôi 1 vạn lần.tôi học vừa dốt tiếng anh cũng dốt nốt

  5. bạn ơi mình đọc một tài liệu về xác suất có từ “triangle free”, dịch sang tiếng việt tương ứng là j vậy?

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s