Bài tập Đại số tuyến tính ngày 22-10-2008(thày Phùng Hồ Hải)


Bài 1. Cho L là không gian hữu hạn chiều các hàm một biến phức khả vi thoả mãn f'\in L\forall f\in L. Chứng minh rằng có các số phức \lambda_i và các số nguyên dương r_i sao cho L là tổng trực tiếp của các không gian L_i (không gian các hàm dạng e^{\lambda_i x}P_i(x), với P_i là đa thức phức có \deg P_i\leq r_i-1).

Bài 2. Cho trước số nguyên dương n , gọi L là tập các nghiệm của phương trình vi phân y^{(n)}+\sum_{i=0}^{n-1}a_iy^{(i)}=0(a_i\in\mathbb{C}). Chứng minh rằng L là không gian hữu hạn chiều bất biết với phép đạo hàm.

Bài 3. Cho J_r(\lambda) là một khối Jordan trên \mathbb{C}. Chứng minh rằng với mỗi \epsilon>0 , tồn tại ma trận phức A có cùng cấp, chéo hoá được và ||A-J_r(\lambda)||<\epsilon.

2 thoughts on “Bài tập Đại số tuyến tính ngày 22-10-2008(thày Phùng Hồ Hải)”

  1. Bài 1 và Bài 2 dựa vào các kết quả về phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất. (Riêng Bài 1 ta cần một lập luận nhỏ: Gỉa sử dim L=n thì với mỗi f thuộc L ta có n+1 hàm f,f',\cdots f^{(n)} thuộc L và phụ thuộc tuyến tính. Bởi vậy nên f là nghiệm của một phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất bậc không quá n).

    Tài liệu tham khảo:
    John W. Dettman, Introduction to Linear Algebra and Differential Equations

  2. Với Bài 3, ta sẽ tìm một ma trận đủ gần khối Jordan đã cho và có đa thức đặc trưng có r nghiệm phức phân biệt. Gọi \lambda_i là r số thực dương nhỏ hơn \epsilon và đôi một khác nhau. Xét ma trận vuông cấp r : A=A(\lambda_i) có các phần tử đường chéo chính bằng \lambda +\lambda_i, các phần tử trên đường chéo phụ bên dưới bằng 1+\lambda_i, tất cả phần tử còn lại bằng 0. Dễ thấy bởi chuẩn Max, ma trận này tới khối đã cho nhỏ hơn \epsilon, và nó có r giá trị riêng phân biệt.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s