Bài tập về Hàm số liên tục


Bài 1. Chứng minh rằng mỗi đa thức bậc lẻ với hệ số thực có ít nhất một nghiệm thực.

Bài 2. Cho f:[a;b]\to [a;b] là một hàm số liên tục. Chứng minh rằng có c\in [a;b] để f(x)=x.

Bài 3. Chứng minh rằng nếu f là một song ánh liên tục trên [a;b]f(a)<f(b) thì f đồng biến trên đoạn [a;b].

Bài 4. Chứng minh rằng x^{17}=x^{11}+1 có đúng một nghiệm dương.

Bài 5. Cho f,g:[0;1]\to\mathbb{R} liên tục sao cho f(0)=g(1)=0f(1)=g(0)=1. Chứng minh rằng \forall\lambda>0\exists x\in [0;1]:f(x)=\lambda g(x).

Bài 6. Cho I là một khoảng của \mathbb{R}f,g là các hàm số liên tục trên I thỏa mãn f^2(x)=g^2(x)\not =0\,\,\forall x\in I. Chứng minh rằng f=g hoặc f=-g.

Bài 7. Cho \varphi:\mathbb{R}\to\mathbb{R} giảm nghiêm ngặt. Chứng minh rằng không tồn tại hàm số liên tục f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} sao cho f(f(x))=\varphi (x)\,\,\forall x\in\mathbb{R}.

Bài 8. Có tồn tại hay không hàm số liên tục f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} thỏa mãn f(f(x))+x=0\,\,\forall x\in\mathbb{R}.

Bài 9. Cho f,g:[a;b]\to\mathbb{R} thỏa mãn f(x)>g(x)>0\,\,\,\forall x\in [a;b]. Chứng minh rằng có số thực dương \lambda thỏa mãn (1+\lambda)g(x)\leq f(x)\,\,\forall x\in [a;b].

Bài 10.

a) Chứng minh rằng phương trình x^3-3x+1=0 có đúng ba nghiệm thực.

b) Gọi ba nghiệm đó là x_1<x_2<x_3. Chứng minh rằng x_1=x_2^2-2,x_2=x_3^2-2x_3=x_1^2-2.

Bài 11. Tìm tất cả các hàm số f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} sao cho f liên tục tại x=0

f(3x)=f(x)\,\,\forall x\in\mathbb{R}.

Bài 12. Tìm tất cả các hàm số f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} sao cho f liên tục tại x=0

f(3x)=-f(x^2)\,\,\forall x\in\mathbb{R}.

Bài 13. Tìm tất cả các hàm số f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} sao cho f liên tục trên \mathbb{R}

f(x+y)=f(x)+f(y)\,\,\forall x,y\in\mathbb{R}.

Bài 14. Cho số thực a. Tìm tất cả các hàm số f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} sao cho f liên tục trên \mathbb{R}

f(x-y)=f(x)-f(y)+axy\,\,\forall x,y\in\mathbb{R}.

About these ads
This entry was posted in Olympiad, Toán phổ thông. Bookmark the permalink.

Gửi phản hồi

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s