Đồng quy-Thẳng hàng


Đây là một số bài tập vận dụng các định lý Ceva và Menelaus.Download

1. Cho đường tròn (C) có tâm O. Một đường tròn (C') có tâm X tiếp xúc trong với (C) tại A. Một đường tròn khác có tâm Y, nằm bên trong (C), tiếp xúc với (C) tại B và tiếp xúc với (C') tại Z. Chứng minh rằng XB,YAOZ đồng quy.

2.   Cho tam giác không cân ABC có tâm đường tròn nội tiếp I. Giả sử (I) tiếp xúc với BC,CA,AB tại A_1,B_1,C_1 tương ứng. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác AIA_1,BIB_1,CIC_1 thẳng hàng.

3. Cho tam giác ABC không cân tại A. Gọi AV,AD là phân giác trong và đường cao của tam giác tương ứng. Nếu E,F tương ứng là các giao điểm của (AVD) với hai cạnh CA,AB. Chứng minh rằng AD,BE,CF đồng quy.

4. Cho tam giác ABC và điểm D nằm trên cạnh BC sao cho \widehat{CAD}=\widehat{CBA}. Đường tròn (O) đi qua B,D cắt AB,AD tại E,F tương ứng. BF cắt DE tại G, gọi M là trung điểm của AG. Chứng minh CM vuông góc với AO.

5. Cho tam giác ABC và một đường tròn \omega đi qua hai điểm B,C. Đường tròn \omega_1 tiếp xúc trong với \omega và các cạnh AB,AC tại T,P,Q tương ứng. M là trung điểm của cung BC chứa T của \omega. Chứng minh rằng PQ,BC,MT đồng quy.

6. Cho tam giác nhọn ABCa>b>c. Điểm D nằm trên cạnh BC, E nằm trên cạnh CA sao cho AE=BD,CD+CE=AB. Gọi K là giao điểm của BEAD. Chứng minh KH||IOKH=2IO. Ở đây H,I,O là trực tâm, tâm nội tiếp, tâm ngoại tiếp của tam giác ABC tương ứng.

7. Hai đường tròn bán kính bằng nhau với tâm O_1,O_2 cắt nhau tại P,Q. Gọi O là trung điểm của PQ. Hai đường thẳng AB,CD được vẽ qua P nhưng không trùng với PQ, ở đây A,C\in (O_1)B,D\in (O_2). Giả sử M,N là trung điểm của AD,BC tương ứng. Biết O_1,O_2 không nằm trong phần chung của hai hình tròn. Chứng minh M,N,O thẳng hàng.

8. Cho tam giác ABC với trung tuyến AM cắt phân giác trong BN tại P. Gọi Q là giao điểm của các đường thẳng CPAB. Chứng minh rằng tam giác BNQ cân.

9. Cho M là điểm nằm trong tam giác ABC. Các đường thẳng AM,BM,CM cắt các cạnh AB,BC,CA tại A',B',C' tương ứng. Kí hiệu S_1,S_2,S_3,S_4,S_5,S_6 là diện tích của các tam giác MA'B,MA'C,MB'C,MB'A,MC'A,MC'B tương ứng. Chứng minh rằng nếu \dfrac{S_1}{S_2}+\dfrac{S_3}{S_4}+\dfrac{S_5}{S_6}=3 thì M là trọng tâm của tam giác ABC.

10. M là điểm nằm trong tam giác ABCN,P,Q là ba điểm thẳng hàng trên các cạnh AB,BC và đường thẳng CA tương ứng. Chứng minh rằng nếu \dfrac{S_{MAN}}{S_{MBN}}+\dfrac{S_{MBP}}{S_{MCP}}=2\sqrt{\dfrac{S_{MAQ}}{S_{MCQ}}} thì \dfrac{NA}{NB}=\dfrac{PB}{PC}.

13 thoughts on “Đồng quy-Thẳng hàng”

      1. và em ko hiểu nghĩa của câu này “\frac {AN}{AV} = \frac {ZN}{ZV} (Since ZQ is polar of A WRT (O), A,V,Z,N are harmonically separeted”

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s