Bài tập Đại số tuyến tính ngày 22-10-2008(thày Phùng Hồ Hải)


Bài 1. Cho L là không gian hữu hạn chiều các hàm một biến phức khả vi thoả mãn f'\in L\forall f\in L. Chứng minh rằng có các số phức \lambda_i và các số nguyên dương r_i sao cho L là tổng trực tiếp của các không gian L_i (không gian các hàm dạng e^{\lambda_i x}P_i(x), với P_i là đa thức phức có \deg P_i\leq r_i-1).

Bài 2. Cho trước số nguyên dương n , gọi L là tập các nghiệm của phương trình vi phân y^{(n)}+\sum_{i=0}^{n-1}a_iy^{(i)}=0(a_i\in\mathbb{C}). Chứng minh rằng L là không gian hữu hạn chiều bất biết với phép đạo hàm.

Bài 3. Cho J_r(\lambda) là một khối Jordan trên \mathbb{C}. Chứng minh rằng với mỗi \epsilon>0 , tồn tại ma trận phức A có cùng cấp, chéo hoá được và ||A-J_r(\lambda)||<\epsilon.

About these ads
This entry was posted in Bài viết từ nơi khác and tagged . Bookmark the permalink.

2 Responses to Bài tập Đại số tuyến tính ngày 22-10-2008(thày Phùng Hồ Hải)

  1. Nguyễn Trung Tuân says:

    Bài 1 và Bài 2 dựa vào các kết quả về phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất. (Riêng Bài 1 ta cần một lập luận nhỏ: Gỉa sử dim L=n thì với mỗi f thuộc L ta có n+1 hàm f,f',\cdots f^{(n)} thuộc L và phụ thuộc tuyến tính. Bởi vậy nên f là nghiệm của một phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất bậc không quá n).

    Tài liệu tham khảo:
    John W. Dettman, Introduction to Linear Algebra and Differential Equations

  2. Nguyễn Trung Tuân says:

    Với Bài 3, ta sẽ tìm một ma trận đủ gần khối Jordan đã cho và có đa thức đặc trưng có r nghiệm phức phân biệt. Gọi \lambda_i là r số thực dương nhỏ hơn \epsilon và đôi một khác nhau. Xét ma trận vuông cấp r : A=A(\lambda_i) có các phần tử đường chéo chính bằng \lambda +\lambda_i, các phần tử trên đường chéo phụ bên dưới bằng 1+\lambda_i, tất cả phần tử còn lại bằng 0. Dễ thấy bởi chuẩn Max, ma trận này tới khối đã cho nhỏ hơn \epsilon, và nó có r giá trị riêng phân biệt.

Gửi phản hồi

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s