Bài tập về ước và số ước của một số nguyên dương


Với mỗi số nguyên dương n, gọi d(n) là số ước dương của n. Trong bài này chúng ta sẽ trao đổi về hai loại bài tập sau đây

1-Tìm n khi biết d(n) hoặc biết vài mối quan hệ giữa các ước của n.

2-Chứng minh một vài tính chất của d(n).

Các kết quả sau đây sẽ được dùng nhiều

Định lý 1. Nếu n là một số nguyên dương và n=\prod_{p\in P}p^{e_p(n)} thì d(n)=\prod_{p\in P}(e_p(n)+1).

(Chú ý rằng mặc dù tập P các số nguyên tố là vô hạn nhưng chỉ có hữu hạn các số e_p(n) khác 0, nên các tích trên là các tích hữu hạn).

Định lý 2. Nếu n là một số nguyên dương và 1=d_1<d_2\cdots<d_k=n là tất cả ước dương của n thì d_1d_k=d_2d_{k-1}=\cdots=n.

Các bạn hãy tự chứng minh hai Định lý trên xem như bài tập.

Ví dụ 1. Tìm tất cả các số nguyên dương n có đúng 16 uớc dương 1=d_1<d_2<\cdots<d_{16}=n sao cho d_k=(d_2+d_4)d_6, ở đây k=d_5.

Hướng dẫn. Do Định lý 1 ta thấy n không thể có quá nhiều ước nguyên tố được , vì nếu không số ước dương của nó sẽ nhiều hơn 16 ngay. Vẫn theo Định lý 1, nếu p là ước nguyên tố của n thì e_p(n) cũng không được lớn quá.. Vậy muốn tìm n ta nên đi tìm càng nhiều ước nguyên tố của n càng tốt. Chú ý thêm là 4<d_5<17.

Ví dụ 2. Tìm các số nguyên dương n sao cho n=d^2(n).

Hướng dẫn. Nếu n là số thoả mãn thì n phải là số chính phương , viết n=p_1^{2k_1}\cdots p_m^{2k_m} thì đẳng thức trong đầu bài tương đương với (2k_1+1)\cdots (2k_m+1)=p_1^{k_1}\cdots p_m^{k_m}. Bây giờ chú ý là \lim_{n\to +\infty}\dfrac{a^n}{P(n)}=+\infty với a>1.

Bài tập.

Bài 1. Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho n có đúng 16 ước dương 1=d_1<d_2<\cdots<d_{16}=n thoả mãn d_{6}=18d_9-d_8=17.

Bài 2. Cho n là số nguyên dương và d_1<d_2<d_3<d_4 là bốn ước dương bé nhất của n. Tìm n sao cho n=d_1^2+d_2^2+d_3^2+d_4^2.

Bài 3. Với mỗi số nguyên dương n , gọi m là ước lẻ lớn nhất của n và g(n) là tổng các ước dương của n. Chứng minh rằng g(n)-d(m) là số chẵn với mỗi số nguyên dương n.

Bài 4. Tìm các số nguyên dương n sao cho d(n)=n/3.

Bài 5. Tìm các số nguyên dương n sao cho n có đúng 6 ước dương 1<d_1<d_2<d_3<d_4<n1+n=5(d_1+d_2+d_3+d_4).

Bài 6. Tìm các số nguyên dương n sao cho d^3(n)=4n.

Bài 7. Tìm tất cả số nguyên k sao cho có số nguyên dương n thoả mãn \dfrac{d(n^2)}{d(n)}=k.

Bài 8. Số nguyên dương n có k>21 ước dương 1=d_1<d_2<\cdots<d_k=n. Tìm n sao cho d_7^2+d_{10}^2=(n/d_{22})^2.

Bài 9. Cho n>1 là một số nguyên dương và 1=d_1<d_2<\cdots<d_k=n là tất cả các ước dương của n. Đặt S_n=d_1d_2+d_2d_3+\cdots+d_{k-1}d_k. Chứng minh rằng S_n<n^2 và tìm n để S_n|n^2.

Bài 10.  Cho số nguyên dương n, gọi A là tập các ước dương của n^2 có dạng 4k+1, B là tập các ước dương của n^2 có dạng 4k+3. So sánh |A| và |B|.

Bài 11. Chứng minh rằng dãy \{d([n^2+1]^2)\} không thể đơn điệu kể từ lúc nào đó.

About these ads
This entry was posted in Toán phổ thông and tagged . Bookmark the permalink.

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s